美しい曲線 トロコイド曲線の世界（その11）－ 応用編5

前回は単独の内トロコイド曲線について書いたが、ここからは不完全な内トロコイド曲線について書いていこう。

■ 不完全な内トロコイド曲線
これまで見てきた例では、動円が定円の周りを回って描画点が元の位置に戻るまで曲線を描いてきたが「完全内トロコイド曲線」だ。そこで、その9-応用編3の場合と同じように、途中で曲線を描くのをやめた「不完全内トロコイド曲線」について見ていってみよう。どこで止めるかによって現れるパターンは異なるので、いろいろ試して気に入ったパターンが現れたところで止めればよい。

(1) r_c = 5, r_m = 2.51, r_d = 3 の場合の不完全内トロコイド曲線
このケースでは、動円が定円の周りを 251 周すると描画点が元の位置に戻って完全内トロコイド曲線が描かれるが（その10－応用編4の図 4-18）、その 1/4 の 62.75 周、1/2 の 125.5 周、3/4 の 188.25 周したところで止めると、下の3つの図のようなパターンが現れる。



図4-20　r_c = 5, r_m = 2.51, r_d = 3 の場合の内トロコイド曲線（動円が62.75周（上）、125.5周（中）、188.25周（下）したところで止めた場合）。最後にはその10－応用編4の図 4-18のようになる。


(2) r_c = 5, r_m = 3.13, r_d = 3 の場合の不完全内トロコイド曲線
このケースでは、動円が定円の周りを 313 周すると描画点が元の位置に戻って完全内トロコイド曲線が描かれるが（その10－応用編4の図4-19）、30.5 周、100 周、216 周、275 周したところで止めると、下の4つの図のようなパターンが現れる。動円の周回数が増えるにつれて、星型のパターンが変わっていくのがわかる。




図4-21　r_c = 5, r_m = 3.13, r_d = 3 の場合の内トロコイド曲線（動円が 30.5 周（一番上）、100 周（2番目）、216 周（3番目）、275 周（一番下）したところで止めた場合）。最後はその10－応用編4の図4-19のようになる。


(3) リボン型の不完全内トロコイド曲線
ここでは、曲線の形がリボン型になる不完全内トロコイド曲線の例を2つ紹介しよう。

①まずは、r_c = 7.3, r_m = 3.13 で r_d = 1, 2, 3, 4 と変えてみた場合の不完全内トロコイド曲線だ（青点線の円は定円を表している）。この例では動円が定円の周りを313 周すると描画点が元の位置に戻ってくるが、4つとも 45 周したところで止めてある。このケースでは r_d が多きくなるにつれて曲線がシャープになっていき、中央部の星型のパターンが小さくなっていくのがわかる。




図4-22　r_c = 7.3, r_m = 3.13 に固定して r_d = 1, 2, 3, 4 と変えた場合の不完全内トロコイド曲線（動円は45周したところで止めてある）。一番上：r_d = 1、2番目：r_d = 2、3番目：r_d = 3、一番下：r_d = 4


②次のケースでは、r_c = 9, r_m = 3.13 で r_d = 4, 5, 6, 7 と変えてみた場合の不完全内トロコイド曲線だ（青点線の円は定円を表している）。この例では動円が定円の周りを 313 周すると描画点が元の位置に戻ってくるが、3つとも 120 周したところで止めてある。このケースでは r_d が多きくなるにつれて外周部のリボンの折れ曲り具合が緩やかになり、中央部の円形の隙間がが小さくなっていき、その後再び大きくなっているのがわかる（r_d = r_c - r_m = 5.87 のとき、中央の隙間はなくなる）。それに伴って中心部分の曲線が交差することでできるパターンが変化していく。




図4-23　r_c = 9, r_m = 3.13 に固定して r_d = 4, 5, 6, 7 と変えた場合の不完全内トロコイド曲線（動円は 120 周したところで止めてある）。一番上：r_d = 4、2番目：r_d = 5、3番目：r_d = 6、一番下：r_d = 7


つづく。

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